Fundamentos da Teoria dos Conjuntos

Fundamentos da Teoria dos Conjuntos

1. Introdução
        A idéia intuitiva de conjunto é tão antiga quanto a de número.        Assim, por exemplo, quando uma criança se refere ao número 5 ela está, automaticamente, associando essa idéia a uma coleção de cinco objetos.        Embora a idéia de conjunto sempre tenha existido no pensamento humano e na Matemática, de modo geral, ela so recebeu um tratamento formal e sistemático no final do século XIX, pelo matemático russo Geor Cantor (1845-1918) - o criador da teoria dos conjuntos.        O conceito de conjunto e o de elemento de um conjunto são considerados conceitos primitivos, ou seja, não são definidos. Issso não significa que os conjuntos não devam ser bem caracterizado.        Então, não podemos considerar como conjuntos aqueles cujos elementos não são possíveis de se reconhecer. Veja, por exemplo: como poderíamos reconhecer os elementos do conjunto de fios da barba de D. Pedro II em 1850 ou os elementos do conjunto de automóveis que transitarão em uma avenida qualquer no ano 2020?        Os conjuntos, de modo geral, são designados por letras latinas maúsculas: A, B, C, ...        Os elementos, supostos distintos entre si, são designados genericamente por letras latinas minúsculas: a, b, c, ...         Dados um elemento x qualquer e um conjunto A, para indicarmos que:x é elemento de A, escrevemos x ∈ A (lê-se: x pertence a A); x não é elemento de A, escrevemos x ∉ A (lê-se:x não pertence a A).
 2. Determinação de um conjunto
        Quando queremos determinar ou indicar um conjunto, podemos fazê-lo de duas maneiras:
        1ª) Pela designação de seus elementos:
              Neste caso, designamos entre chaves. Por exemplo, o conjunto A, formado pelas vogais do nosso alfabeto, é indicado por {a, e, i, o, u}.
              No caso de o número de elementos ser muito grande, escrevemos apenas alguns deles, suficientes para que possamos perceber a lei de formação do conjunto, colocamos reticências e indicamos o último elemento, por exemplo, para indicar o conjunto dos números pares não-negativos menores que 150, escrevemos {0, 2, 4, 6, ..., 148}.
               Quando o número de elementos do conjunto é infinito, uma vez conhecida sua lei de formação, basta escrever alguns deles e colocar reticências. Assim, para indicar o conjunto dos números naturais escrevemos {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.
        2ª) Pela propriedade de seus elementos:
               Neste caso, designamos uma propriedade que todos os elementos do conjunto, e somente eles, possuam.
               Assim, o conjunto dos elementos x que possuem uma propriedade P será indicado por x tal que x  possui a propriedade P. É usual colocar uma barra vertical no lugar da expressão "tal que".
               Deste modo, a escrita fica: {x | x possui a propriedadeP}.
                Por exemplo, o conjunto {11, 12, 13, 14, ...} pode ser representado por {x | x é natural e x > 10}.


3. Diagramas
         Um conjunto pode ser representado por pontos de uma plana delimitada por uma linha fechada que não se entrelaça.
        A figura abaixo, por exemplo, é diagrama do conjunto { 2,3,4}.

[Image] 5 6  Chamando este conjunto de A, temos que 2 ∈ A, 3 ∈ A, 4 ∈ A, e que 6 ∉ A e 7 ∉ A.



 4. Conjunto unitário e conjunto vazio

        Quando um conjunto tem um único elemento, ele é chamado de conjunto vázio.
Exemplo:
1) {x | x é natural e 4 < x < 6} tem somente 5.
2) {x | x + 2 =  -8 e x é inteiro} tem somente o elemento -10.
        Analogamene, entendemos por conjunto vazio o conjunto que não possui elementos.

5. Igualdade de conjuntos
        Dizemos que dois conjuntos, A e B, são iguais se, e somente se, todo elemento que pertence a um deles também pertence ao outro.
        INdicamos por A = B e lemos "A é igual a B" ou "A coincide com B".